До Римана, Лобачевского, Эйнштейна и некоторых других товарищей геометрия строилась из плоскостей, невидимых точек и бесконечных в обе стороны прямых. Над плоско-трехмерным миром гордо реяло время, воспринимаемое нами как некий процесс, квантуемый для удобства на удары сердца и тиканье часов. Все привычно, прямолинейно, понятно, действуют силы, три координаты в пространстве можно определить где угодно - просто вбей колышек.

Конец идиллии настал с приходом математиков, исследующих на кончике пера многомерные пространства. Они строили сложные, многокоординатные объекты и системы, немыслимые для человеческого глаза и ощущений, например, знаменитый четырехмерный куб, лента Мёбиуса и прочее. Постепенно выяснилось, что воображаемое пространство необязательно должно состоять из плоскостей и прямых с процессом-временем, оно может состоять, например, из свернутого в трубку неправильной формы плоского листа, причем время является длиной оси, проведенной в центре трубки. Поставленная в такое "неправильное" пространство точка уже никогда не будет иметь привычных нам трех координат, так как вбитый колышек не поможет их измерить. Положение поставленной точки в не-евклидовом пространстве нужно будет уже представлять в виде целого массива чисел, который еще и непрерывно изменяется в соответствии с некоторыми правилами. Сами правила в каждом вымышленном пространстве свои. Такой массив чисел называется тензором, он хранит данные о точках пространства примерно в том виде, в каком хранит изображение известная игрушка "картинка из гвоздей": длина каждого стержня есть вектор, указывающий на точку по одной из координат, их сочетание дает одно ее изображение, единственное и неповторимое.

Тензоры - объекты сложные, но у них есть одно общее место - тензор как массив векторов-стержней можно "срезать поперек", определив так называемую матрицу тензора - двухмерную таблицу, в которой вместо обычных чисел формулы, описывающие правила его преобразования. Матрица - простой объект, операции с которым хорошо разработаны еще столетия назад. Головы математиков начали усиленно работать, подставлялись самые разные формулы, строились тензоры для точек самых немыслимых пространств. В конце концов усилиями Минковского, Римана, Лоренца и Эйнштейна были обнаружены простейшие тензоры, описывающие с достаточной точностью воспринимаемое нами трехмерное евклидово пространство и время-процесс. Их матрицы и называются метриками.

В дальнейшем пришло понимание того, что в силу взятого за основу Эйнштейном постоянства скорости света в вакууме метрика Минковского становится неприменимой на очень больших расстояниях между точками, или при очень высоких показателях гравитационного взаимодействия. Головы математиков снова заработали, уже в альянсе с физиками, искавшими экспериментальное подтверждение теорий. Так появилась, например, метрика Шварцшильда, которая описывает наш мир через перемножение матриц тензоров двухмерной прямоугольной плоскости и двухмерной же сферы (она же всем знакомая окружность, но в виде целого пространства). Метрика Шварцшильда позволила описать, почему мы именно так, а не иначе, воспринимаем движение объектов небесной сферы. Время в ней - постоянная величина(!), вводимая отдельно в каждый расчет, а расстояние от точки до наблюдателя - на самом деле некий вектор, дающий описание протяженности пространства(-времени) между двумя не объектами, но событиями.

1. Пространство изолированных точек.

Произвольное множество и

2. Множество действительных чисел с расстоянием образует метрическое пространство .

3. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с называется – мерным арифметическим евклидовым пространством .

Доказательство.

Для того, чтобы доказать, что пространство является метрическим, необходимо проверить выполнимость аксиом.

Пусть , , .

, , …, , т. е. .

А3. Проверим, выполняется ли в аксиома треугольника. Запишем аксиому в виде:

Полагая , , получим и .

Для доказательства этого неравенства используется неравенство Коши–Буняковского .

Действительно,

Следовательно, аксиома треугольника выполнена, и рассматриваемое множество с заданной метрикой является метрическим пространством.

Что и требовалось доказать.

4. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с . Это метрическое пространство обозначается .

5. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с . Это метрическое пространство обозначается .

Примеры 3, 4 и 5 показывают, что один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.

6. Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте с расстоянием . Обозначают это метрическое пространство как и само множество точек пространства: . В частности, вместо пишут .

7. Через обозначается метрическое пространство, точками которого служат всевозможные последовательности действительных чисел, удовлетворяющие условию , и метрика определяется формулой .

Доказательство.

Так как , то имеет смысл при всех . Т.е. ряд сходится, если и .

Покажем, что удовлетворяет аксиомам.

Аксиомы 1, 2 очевидны. Аксиома треугольника примет вид:

Все ряды являются сходящимися.

Неравенство справедливо для любого (см. пример 3). При получаем неравенство для .

Что и требовалось доказать.

8. Рассмотрим совокупность всех функций, непрерывных на отрезке и . Такое метрическое пространство обозначается и называется пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой.

9. Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей действительных чисел. Определим . Это метрическое пространство обозначается .

10. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с расстоянием , где – любое фиксированное число , представляет собой метрическое пространство, обозначаемое .

Рассмотренная в этом примере метрика превращается в евклидову метрику при (см. пример 3) и в метрику примера 4 при . Можно показать, что метрика (см. пример 5) является предельным случаем .

11. Рассмотрим всевозможные последовательности действительных чисел, удовлетворяющие условию , где – некоторое фиксированное число, а расстояние определяется формулой . Имеем метрическое пространство .

12. Пусть – множество всех бесконечных последовательностей –комплексных чисел . Определим . Имеем метрическое пространство.

Определение: Пусть – метрическое пространство и – любое подмножество . Тогда с той же функцией , которая теперь определена для , представляет собой метрическое пространство, которое называется подпространством пространства .

Основные понятия

Обозначим метрическое пространство через .

Определение: Последовательность , принадлежащая метрическому пространству, называется фундаментальной , если каждому соответствует номер такой, что для любых справедливо неравенство .

Определение: Последовательность , принадлежащая метрическому пространству , называется сходящейся , если существует такой, что каждому соответствует номер такой, что для всех справедливо неравенство . Тогда называется пределом последовательности.

Теорема: Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство.

Действительно, если и , то . Так как и , то , т.е. .

Теорема доказана.

Определение: Полным метрическим пространством называется метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

Теорема: Метрика как функция двух аргументов является непрерывной функцией, т.е. если и , то .

Доказательство:

Пусть , , , .

По неравенству треугольника:

Из (1) получаем:

Из (2) получаем:

Так как ,

Обозначим .

В метрическом пространстве можно рассматривать различные множества, окрестности точек, предельные точки и другие понятия классического анализа.

Определение: Под окрестностью точки понимают множество, содержащие открытый шар радиуса с центром в точке , т.е.

Определение: Точка называется предельной точкой для множества , если в любой окрестности точки содержится хотя бы одна точка из , отличная от .

Определение: Точка называется внутренней точкой множества , если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью .

Определение: Множество называется открытым , если оно состоит из одних внутренних точек. Множество называется замкнутым в себе, если оно содержит все свои предельные точки.

Метрическое пространство является замкнутым.

Подпространства могут быть и не замкнутыми подмножествами .

Если к присоединить все его предельные точки, то получаем замыкание .

Определение: Множество , лежащее в метрическом пространстве называется замкнутым , если оно совпадает со своим замыканием: .

Замкнутое множество, есть наименьшее замкнутое множество, содержащие .

Определение: Пусть . Множество называется плотным в , если . Множество называется всюду плотным , если . Множество называется нигде не плотным в , если каков бы ни был шар , найдется другой шар , свободный от точек множества .

Определение: Пространство называется сепарабельным, если в нем существует всюду плотное счетное множество.

В математическом анализе важную роль играет свойство полноты числовой прямой, то есть тот факт, что всякая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится к некоторому пределу (Критерий сходимости Коши).

Числовая прямая служит примером полным метрических пространств.

Пространства изолированных точек, , , , , , являются полными метрическими пространствами .

Пространство не полно .

В анализе широко используется так называемая лемма о вложенных отрезках :

Пусть - система вложенных отрезков. Тогда для отрезка имеем .

Это значит, что все отрезки из множества имеют общую точку .

В теории метрических пространств аналогичную роль играет теорема о вложенных шарах.

Теорема: Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга шаров, радиусы которых , имела непустое пересечение.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть - полное метрическое пространство и пусть - последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров.

Пусть - радиус, а - центр шара .

Последовательность центров - фундаментальна, так как при , а при . Так как - полно, то . Положим , тогда . Действительно, шар содержит все точки последовательности , за исключением, быть может точек . Таким образом точка является точкой прикосновения (предельной точкой) для каждого шара . Но так как - замкнутое множество, то .

Достаточность:

Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет предел. В силу фундаментальности можем выбрать такую точку последовательности, что при всех . Примем точку за центр замкнутого шара радиуса .Обозначим этот шар . , вложенных друг в друга, причем шар - некоторый замкнутый шар радиуса содержит некоторую точку пополнением

Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действи­тельных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действи­тельных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства - одному из важнейших понятий современной математики.

Метрическим пространством называется пара (Х, r), состоящая из некоторого множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т. е. неотрица­тельной действительной функции r(х,у), определенной для лю­бых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам:

1) r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,

2) r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии),

3) r(х, г) ≤ r(х, у) + r (у, г) (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство, т. е. пару (Х, ρ), мы будем обозначать, как правило, одной буквой:

R = (X, ρ).

В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем за­частую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X.

Приведем примеры метрических пространств. Некоторыеизэтих пространств играют в анализе весьма важную роль.

1. Положив для элементов произвольного множества

мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно на­звать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

ρ(х, у) = | х - у |

образует метрическое пространствоR 1 .

3. Множество упорядоченных наборов из п действительных чи­сел с расстоянием

называется п -мерным арифметическим евклидовым пространством R n .

4. Рассмотрим то же самое множество наборов из п действительных чи­сел , но расстояние опре­делим в нем формулой

Справедливость аксиом 1)-3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом R n 1 .

5. Возьмем снова то же самое множество, что и в приме­рах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами фор­мулой

Справедливость аксиом 1)-3) очевидна. Это пространство, ко­торое мы обозначим R n ¥ во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство R n .

Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метриче­ского пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.

6. Множество С всех непрерывных действительных функ­ций, определенных на отрезке с расстоянием

также образует метрическое пространство. Аксиомы1)-3) про­веряются непосредственно. Это пространство играет очень важ­ную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же симво­лом С , что и само множество точек этого пространства.

7. Рассмотрим, как и в примере 6, совокупность всех функ­ций, непрерывных на отрезке С , но расстояние определим иначе, а именно, положим

Такое метрическое пространство мы будем обозначать С 2 и называть пространством непрерывных функций с квад­ратичной метрикой.

Метрическое пространство.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Метрическое пространство есть пара , где - множество (подлежащее множество метрического пространства, множество точек метрического пространства), а - числовая функция (метрика пространства), которая определена на декартовом произведении и принимает значения в множестве вещественных чисел - такая, что для точек

Прим.: Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

Сжатые отображения.

Сжатые отображения одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. С. о. п. применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М , порождает в пространстве М уравнение

Ax = х. (*)

Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax . Точка х называется неподвижной точкой отображения А , если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А .

Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство

d (Ax, Ау ) £ ad (х, у ),

где символ d (u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М .

С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x 0 из М последовательность {x n }, определяемая рекуррентными соотношениями

x n = Ax n-1 , n = 1,2,...,

имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А . При этом справедлива следующая оценка погрешности:

.

С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом .

С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве .

В частном случае, когда - компактное пространство, - числовая прямая, получается пространство всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

До сих пор, говоря о расстоянии, мы всегда подразумевали евклидово расстояние. Так, расстояние между векторами мы определили как длину вектора а именно:

Но расстояния можно вычислять и по-другому, используя различные меры длины. Например, рассмотрим упрощенную карту города в виде прямоугольной сетки улиц с двусторонним движением. Тогда адекватной мерой длины может служить кратчайшее расстояние, которое нужно преодолеть, чтобы добраться от одного перекрестка до другого. Иногда такое расстояние называют манхэттенским.

Вместо того чтобы перечислять всевозможные меры длины, большинство из которых нам не понадобится, мы сейчас рассмотрим требования (аксиомы), которым должна удовлетворять произвольная мера длины. Все последующие теоремы о расстояниях будут доказаны в рамках этих аксиом, то есть в наиболее общем виде. В математике принято вместо выражения «мера длины» использовать термин метрика.

Метрика.

Метрикой на множестве X называется вещественная функция d(x, у), определенная на произведении х и удовлетворяющая следующим аксиомам:

б) влечет

г) для всех (неравенство треугольника).

Метрическим пространством называется пара Доказательство того, что евклидово расстояние удовлетворяет аксиомам (а), (б) и (в), тривиально. Неравенство треугольника:

мы доказали в п. 3.1 (теорема 3.1.2). Таким образом, евклидово расстояние является метрикой, которую мы в дальнейшем будем называть евклидовой метрикой.

Рассмотрим один важный класс метрик в пространстве а именно класс -метрик. -метрика является обобщением евклидовой метрики и совпадает с ней при . Для p-метрика определяется следующим образом:

Мы оставим без доказательства следующий факт:

Доказательство того, что -метрика действительно является метрикой, т.е. удовлетворяет аксиомам мы также опускаем. Частично этот вопрос вынесен в упражнения.

Заметим, что в определении метрики мы не стали требовать, чтобы элементы х и у принадлежали пространству . Это дает нам возможность определить множество X, также как и его элементы х, у и т. д., многими разными способами. Наша задача состоит в том, чтобы указать при каких условиях фрактальное построение сходится. Для этого нужно уметь измерять расстояние между компактными множествами, то есть необходимо определить соответствующую метрику.

Теория множеств в метрических пространствах.

Нам предстоит сделать большой шаг вперед и распространить теоретикомножественные определения п. 3.1, подразумевавшие евклидову метрику, на произвольные метрики. Открытый шар в метрическом пространстве (X, d) определяется следующим образом:

С учетом (3.4), мы можем оставить без изменений данные выше определения следующих понятий:

Например, множество является открытым множеством тогда и только тогда, когда для любого можно указать открытый шар (в смысле определения (3.4)), который содержится в Е. В список вошли без изменений все определения, кроме понятия компактности. Строгое определение компактного множества в произвольном метрическом пространстве дается в прил. Так как нас в основном будет интересовать компактность подмножеств пространства то определение, данное выше (замкнутость и ограниченность), остается в силе.

Если - метрика на множестве X, а - взаимно однозначная вещественная функция, то

также есть метрика на X. Аксиомы (а) и (в), очевидно, выполнены. удовлетворяет аксиоме (б), так как - взаимно однозначная функция. Аксиома (г) запишется в виде неравенства:

то есть классического неравенства треугольника для вещественных чисел. Пример метрики, заданной таким образом:

Говорят, что две метрики, , определенные на множестве X, эквивалентны, если можно указать такие что:

Можно показать, что любые две -метрики в пространстве где эквивалентны (случай вынесен в упр. 3 в конце этого параграфа). С другой стороны, метрики на множестве R не эквивалентны (упр. 4 в конце этого параграфа).

По-видимому, основным следствием эквивалентности метрик для теории фракталов является тот факт, что фрактальная размерность (глава 5) сохраняется при замене метрики на эквивалентную. Более того, если множество открыто (замкнуто) в одной метрике, то оно открыто (замкнуто) и в любой эквивалентной метрике. Далее, если множество ограничено в одной метрике, то оно ограничено и в любой эквивалентной метрике. То же самое относится и к совершенным, связным и вполне разрывным множествам.

Сходимость.

Пусть - метрика на множестве X. Последовательность точек метрического пространства X сходится к пределу в метрике d, если последовательность чисел сходится к нулю в обычном смысле, то есть если:

Здесь эквивалентность метрик выражается в следующем. Если метрики эквивалентны, то в -метрике тогда и только тогда, когда в -метрике, так как:

Если то и наоборот.

Непрерывность.

В курсе математического анализа функция определенная на X, называется непрерывной в точке , если.